6.1 Otro repaso al movimiento rectilíneo

 Otro repaso al movimiento rectilíneo

 

 

  Sabemos que la función s=f (t) es la función de posición de un objeto que se mueve en línea recta. 

 Basado en esto sabemos que las siguientes fórmulas: 

Las cantidades s y v también pueden escribirse de la siguiente manera como consecuencia de una antiderivada.

.

Si conocemos la posición inicial s(t) y la velocidad inicial v(t), es muy probable que encontremos valores constantes de integración.

Debemos recordar que cuando un cuerpo se mueve en línea recta, la dirección positiva es hacia la derecha, y la dirección negativa hacia la izquierda. En caso contrario, cuando un cuerpo se dirige en una recta vertical, la dirección positiva es hacia arriba y la dirección negativa es hacia abajo, es importante establecer que cuando un cuerpo se dirige en línea recta vertical actúa la fuerza de gravedad, esta es la encargada de la aceleración de los cuerpos, cerca de la superficie de la tierra, se supone que la aceleración debido a la gravedad es de 9 m/seg², 32 pies/seg², oo bien 80 cm/seg². 

Ejemplo: 

Movimiento de un proyectil: Un proyectil se dispara hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 49 m/seg, ¿Cuál es su velocidad en 2 segundos?, ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?, ¿Cuál es la velocidad del impacto?. 

Paso 1: Comenzamos con establecer la constante de la gravedad, con signo negativo, ya que al ser lanzado hacia arriba, actúa en contra de la misma. a(t) = -9.8 m/seg.

Por integración definida obtenemos la siguiente expresión:  

                                                    v(t) = ∫(-9.8) dt = -9.8 t + C_{1    (1)}

Dadas las condiciones iniciales, tenemos entendido que:     v(0) = 49, esto implica que C₁= 49.

Por lo tanto:                                 v(t)= -9.8t + 49

Operamos:                                     v(2)= -9.8 (2) +49 = 29.4 mt/seg. 

Observamos que v(2) >  0, esto implica que el proyectil se desplaza hacia arriba. 

Paso 2: Luego la altitud del proyectil, medida a partir del nivel del suelo, es la integral indefinida de la función velocidad. 

s(t) = ∫ v(t) dt =  ∫ (-9.8 + 49) = -4.9 t ² +  49t + C_{2   (3)}

_{Puesto que el proyectil inicia su movimiento desde el nivel del suelo, s(0) = 0, y la ecuación anterior nos dice que} C_{2 = 0.}

_{Por tanto:                                               ^{= -4.9 t 2 +  49t   (4)}}

_{^{Cuando el proyectil alcanza su altura máxima v(t) = 0, Luego al resolver -9.8t 2 +49= 0, Obtenemos que t = 5, por la ecuación 4 encontramos que la altura correspondiente s(5) = 122.5 m.}} 

_{^{Finalmente, para encontrar el instante en que el proyectil choca contra el suelo resolvemos s(t) = 0. Cuando la última ecuación se escribe como: -4.9t (t-10) = 0.}}

_{^{Por lo tanto:}} 

                                     _{^{Su velocidad en dos segundos será de: 29.4 m/seg.}} 

                                     _{^{Su altura máxima será 122.5 m. al cabo de 5 segundos}}

                                     _{^{Permanecerá 10 segundos en el aire}}

                                     _{^{Su velocidad de impacto será -49 m/seg.}}