6.3 Volúmenes de sólidos: método de las rebanadas

 VOLÚMENES DE SÓLIDOS: MÉTODO DE LAS REBANADAS

Introducción La forma que indiscutiblemente viene a la mente al evocar las palabras cilindro recto es el cilindro circular recto; es decir, la conocida forma de una lata de aluminio. Sin embargo, un cilindro recto no necesita ser circular. Por geometría, un cilindro recto se define como un sólido acotado por dos regiones planas congruentes, en planos paralelos y una superficie lateral que es generada por un segmento de recta perpendicular a ambos planos y cuyos extremos constituyen los límites de las regiones planas. Cuando las regiones son círculos, obtenemos el cilindro circular recto. Si las regiones son rectángulos, el cilindro es un paralelepípedo rectangular.

V =B * h,

donde B denota el área de una base (es decir, el área de una de las regiones planas) y h denota la altura del cilindro (es decir, la distancia perpendicular entre las regiones planas).

Cinco cilindros rectos diferentes

Método de las rebanadas: Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un círculo A= πr2 y el ancho será un Δx.

Un cilindro recto se define como un sólido acotado por dos regiones planas congruentes, en planos paralelos y una superficie lateral que es generada por un segmento de recta perpendicular a ambos planos y cuyos extremos constituyen los límites de las regiones planas.

Construcción de una integral Ahora considere rebanar el sólido en n rodajas. Si P es la partición

del intervalo [a, b] y X_k es un punto muestra en el k-ésimo subintervalo entonces una aproximación al volumen del sólido sobre este subintervalo, o rebanada, es el volumen Vk del cilindro recto, su volumen es

Definición Volumen por rebanadas

MÉTODO DEL DISCO

                                

Obtiene su obre del pequeño volumen que se extrae ya que es un disco con medidas  dicho volumen debe contar don diferencial ya que se desea integrar (dicho diferencial posteriormente se indicara como se define) para luego hacer una sumatoria de todas esos volúmenes y dar el total de volumen analizado, el método de discos tiene la condicionante de que debe estar dicho disco perpendicular al eje de rotación, es decir, si gira sobre el eje x será dy por lo tanto si gira sobre el eje y el diferencial será dx.

MÉTODO DE LA ARANDELA

Este método es básicamente un caso especial para la solución de volúmenes de giro ya que por su construcción se facilita para casos que presente sólidos con vacíos en su interior es decir que este comprendido por dos radios uno externo y el otro interno, de ahí se desprende la fórmula para la solución de este tipo de volumen al igual que en el método de discos la arandela debe estar colocada de manera perpendicular al eje de rotación cuya volumen se presenta de esta manera  (rrextremo - rrinterno)* grueso

Para la solución de cada uno de los métodos se debe de conocer las funciones que delimitan el volumen en estudio u a partir de esas ecuaciones se debe despejar las variables tanto en x o y (eso dependerá del método y sobre que eje se realiza el movimiento) luego que despejar con respecto a una variable este valor se debe de sustituir nuevamente en la ecuación general para cada método.

Nota: Para mejor comprensión del tema ver los siguientes videos.