7.1 Integración: Tres Recursos

 Integración: tres recursos

 vamos a resumir el estudio de antiderivadas que empezó en el capítulo 5, en el que mostramos superficialmente cómo obtener antiderivadas de una función f. Recuerde que una integral definida

es una familia F(x) + C de antiderivadas de la función f; es decir, F está relacionada con f por el hecho de que F ¿(x) = f(x). De esta manera, a la derivada de una función específica (sen x, cos x, e x , ln x, etc.) corresponde una integral indefinida análoga. Por ejemplo,

La TABLA 7.1.1 que se muestra a continuación es una versión ampliada de la tabla 5.2.1. Puesto que resume en notación integral indefinida todas las derivadas de la regla de la cadena de las funciones analizadas en los capítulos 1 y 3, referiremos las entradas de la tabla 7.1.1 a formas familiares o básicas. El objetivo de este capítulo consiste en evaluar integrales que, en su mayor parte, no caen en ninguna de las formas proporcionadas en la tabla. La tabla 7.1.1 es sólo la punta de un iceberg más bien enorme; los manuales de referencia solían incluir cientos de fórmulas de integración. Aunque aquí no somos tan ambiciosos, en la sección Fórmulas matemáticas al final de este texto proporcionamos una tabla más amplia de fórmulas de integración. Como de costumbre, en ambas se usa notación diferencial. Si u = g(x) denota una función diferenciable, entonces la diferencial de u es el producto du 5 g¿(x) dx.

Aunque estas fórmulas de integración se han designado como familiares o básicas, tal vez usted observe que puede no estar familiarizado con algunas de ellas, especialmente las fórmulas 17-22 y 26-31. Debido a que los profesores a veces prestan poca atención a las funciones hiperbólicas, se le solicita revisar (o, en caso de ser necesario, estudiar por primera vez) la sección 3.10. Las fórmulas 26-31, que semejan a las fórmulas 23-25, son las formas de integral indefinida de las fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas inversas combinadas con el hecho de que toda función hiperbólica inversa es un logaritmo natural. Vea la página 183.

Técnicas de integración: En las siguientes secciones, las integrales que analizaremos no pueden clasificarse como una simple forma familiar como u n du, e u du o sen u du. A pesar de ello, la tabla 7.1.1 es importante; a medida que avance en este capítulo, necesariamente se le hará referencia a esa tabla. Una gran cantidad de integrales puede evaluarse al ejecutar operaciones específicas sobre el integrando —denominada técnica de integración— y reducir una integral dada a una o más de las formas familiares en la tabla. Por ejemplo, no es posible evaluar ln x dx al identificarla con cualquiera de las fórmulas de integración en la tabla 7.1.1. No obstante, en la sección 7.3 veremos que al aplicar una técnica de integración, ln x dx puede evaluarse en pocos segundos al usar la derivada de ln x junto con la fórmula 1 en la tabla

Tecnología: Unas palabras sobre tecnología: si usted no ha trabajado con un sistema algebraico computarizado (SAC) como Mathematica, Maple, Derive o Axiom, debe corregir esta deficiencia lo más pronto posible. Un sistema algebraico computarizado es un programa extremadamente sofisticado diseñado para realizar una amplia gama de operaciones matemáticas simbólicas como álgebra normal, álgebra matricial, aritmética con números complejos, resolver ecuaciones polinomiales, aproximar raíces de ecuaciones, diferenciación, integración, graficado de ecuaciones en dos o tres dimensiones, resolver ecuaciones diferenciales, manipular funciones especiales ya contempladas en el SAC, etcétera. Si usted piensa convertirse en un estudiante serio de matemáticas, ciencias o ingeniería, entonces una ayuda ideal para sus clases teóricas y prácticas (así como para su carrera futura) sería contar con una computadora portátil equipada con un programa como Mathematica, Maple o MATLAB. También verifique en los laboratorios de matemáticas de su departamento de matemáticas o física; las computadoras que ahí encuentre indudablemente cuentan con uno o más de estos programas.