7.3 Integración por partes

 INTEGRACIÓN POR PARTES

Introducción En esta sección desarrollaremos una fórmula importante que puede usarse a menudo para integrar el producto de dos funciones. Para aplicar la fórmula es necesario identificar una de las funciones en el producto como una diferencial. Recuerde que sí y = g(x), entonces su diferencial es la función dv = g’(x) dx.

Integración de productos Puesto que deseamos integrar un producto, parece razonable empezar con la regla de diferenciación del producto. Si u = f(x) y v = g(x) son funciones diferenciables, entonces la derivada de f(x)g(x) es

A su vez, la integración de ambos miembros de (1),

o 

produce la fórmula

La fórmula anterior suele escribirse en términos de las diferenciales du f ‘(x) dx y dv = g’(x) dx:

El procedimiento definido por la fórmula anterior se denomina integración por partes. La idea esencial detrás de la ecuación vista anteriormente es evaluar la integral u dv mediante la evaluación de otra, que se espera sea más simple, integral v du.

Algunas veces los problemas de integración pueden efectuarse aplicando varios métodos.

Caso 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.

Caso 2

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Caso 3

Si tenemos una integral con solo un logaritmo o un “arco”, integramos por partes tomando: v’ = 1.

Caso 4

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

Sacamos factor común e^{3x}.

Ejemplo

Calculo la integral de f(x) = xIn(x), es decir,

F xIn(x) dx

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores u y dv es de vital importancia para calcular la integral propuesta, es por esto que no nos debemos confiar en el orden que estos aparecen a primera vista. Cambiemos entonces el orden de los factores para plantear lo siguiente:

Definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

Nota: Se invita a lector a verificar si el cálculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

Para mejor compresión del tema se recomienda que vea los siguientes videos