5.4 La integral definida

 LA INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la grafica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida es uno de los conceptos fundamentales del Análisis Matemático.

La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b (bajo la hipótesis de que la función f es positiva). Esta integral se representa por:

a es limite inferior de la integración y b es limite superior de la integración. 

Si la funcion F es una funcion primitiva de f en el intervalo [a,b], por la Regla de Barrow se tiene que:

Es utilizada para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a,b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

La integral definida como el límite de una suma de Riemann

La suma se calcula dividiendo la región en formas (rectángulos, trapezoides, parábolas o cúbicas) que juntas forman una región que es similar a la región que se está midiendo, luego calculando el área para cada una de estas formas y, finalmente, agregando todas estas pequeñas áreas juntas. Este enfoque se puede usar para encontrar una aproximación numérica para una integral definida incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita encontrar una solución de forma cerrada.

Nota: Para mejor comprensión del tema ver los siguientes videos.