5. INTEGRALES y 5.1 La integral indefinida
INTEGRALES
La integración es un concepto fundamental del calculo y del análisis
matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma
de infinitos sumandos infinitesimalmente pequeños: una suma continua.
La integral es la operación inversa a la derivada.
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Antiderivada
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar
El
proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como
integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las
integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a
través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método
sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.
EJEMPLO 1:
Una primitiva de la función f(x)=cos(x) en R, es la función F(x)=sin(x) ya que:
Dado
que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá
un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) -
100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será
de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante
de integración.
Las
antiderivadas difieren por una constante
EJEMPLO 2:
a) Una antiderivada de es puesto que La antiderivada más general de f(x) = 2x + 5 es F(x) = x2+5x+C.
b) Una antiderivada de f(x) = sec2 x es F(x) = tan x puesto que F(x) = sec2 x. La antiderivada más general de f(x) = sec2x es F(x) = tan x + C.
- Una antiderivada de la derivada de una función es esa función más una constante.
- La derivada de una antiderivada de una función es esa función.
A
partir de lo anterior se concluye que siempre que se obtiene la
derivada de una función, al mismo tiempo se obtiene una fórmula de
integración.
De
esta manera es posible construir una fórmula de integración a partir de
cada fórmula de derivada. En la Siguiente Tabla se resumen algunas
fórmulas de derivadas importantes para las funciones que se han
estudiado hasta el momento, así como sus fórmulas de integración
análogas.
EJEMPLO 3:
Una antiderivada simple pero importante.
La fórmula de integración en la entrada 1 en la tabla.
Este resultado también puede obtenerse a partir de la fórmula de integración 2 de la Tabla.
A menudo es necesario volver a escribir el integrado f(x) antes de realizar la integración.
Propiedades de la integral indefinida
Estas
propiedades se concluyen de inmediato a partir de las propiedades de la
derivada. Por ejemplo, ii) es una consecuencia del hecho de que la
derivada de una suma es la suma de las derivadas.
Observe en el teorema ii) que no hay razón para usar dos constantes de integración, puesto que:
Donde C1 ± C2 se ha sustituido por la simple constante C.
Una integral indefinida de cualquier suma infinita de funciones la podemos obtener al integrar cada término.
Nota: Estos vídeos le ayudaran a
entender mejor el análisis de INTEGRALES y de LA INTEGRAL INDEFINIDA
.
INTEGRALES
LA INTEGRAL INDEFINIDA
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